INVERSIÓN GEOMÉTRICA

UNA DE LAS OPERACIONES DE TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA MENOS ABORDADAS

INTRODUCCIÓN

Las transformaciones de las formas, regidas por reglas matemáticas precisas, constituyen una de las herramientas fundamentales de la geometría, pues permiten estudiar las propiedades de las figuras mediante la correspondencia entre puntos, rectas, curvas y superficies. Por medio de ellas es posible analizar las modificaciones que experimentan las formas, sus posiciones relativas y sus dimensiones, así como determinar las propiedades que permanecen invariantes bajo la acción de dichas operaciones.

Entre las transformaciones geométricas más conocidas y estudiadas se encuentran las denominadas operaciones de simetría, ampliamente utilizadas en la geometría,la física, la cristalografía y numerosas ramas de la ciencia. Entre ellas pueden mencionarse:

• Identidad

• Traslación

• Rotación

• Reflexión o simetría especular

• Homotecia o extensión

Estas transformaciones pueden actuar de manera individual o combinarse entre sí, dando origen a configuraciones de creciente complejidad. Su estudio permite comprender las relaciones existentes entre distintas figuras geométricas y constituye una base esencial para numerosas aplicaciones teóricas y prácticas.

Sin embargo, además de las transformaciones anteriores, existen otras que, aunque menos difundidas en los cursos generales de geometría, poseen un notable interés matemático y presentan propiedades de gran riqueza conceptual. Entre ellas se destacan:

• Homología

• Afinidad

• Inversión

La inversión geométrica ocupa un lugar particular dentro de este conjunto. A diferencia de las operaciones de simetría más habituales, no conserva las distancias ni las dimensiones de las figuras. Establece, en cambio, una correspondencia entre los puntos del plano o del espacio basada en su posición respecto de un punto fijo denominado centro de inversión.

Como consecuencia, las imágenes obtenidas presentan características notables: rectas y circunferencias pueden transformarse unas en otras, y ciertas configuraciones complejas pueden analizarse mediante construcciones considerablemente más simples.

Por sus propiedades, la inversión constituye una herramienta de gran utilidad en diversos problemas de geometría euclidiana, proyectiva y conforme, rama que estudia las transformaciones que preservan los ángulos.

Su estudio permite descubrir relaciones poco evidentes entre distintas figuras y, como se ha señalado, identificar las propiedades que permanecen invariantes tras la aplicación de la transformación.

En las páginas siguientes se desarrollarán los fundamentos de esta herramienta geométrica, sus principales propiedades y algunos ejemplos que permiten apreciar su importancia y utilidad dentro de este campo del conocimiento.

ANTECEDENTES

En matemáticas existe una extensa línea de investigación dedicada al estudio de las formas obtenidas mediante la aplicación de una inversión respecto de una esfera sobre superficies como el toro, el cilindro o el cono. Las figuras resultantes se conocen genéricamente como cíclidos de Dupin, descritos por primera vez por el matemático francés Charles Dupin (1784-1873).

Ejemplos de cíclidos de Dupin. Gráficos realizados por Ag2gaeh

DEFINICIÓN

Se denomina inversión geométrica en el plano a la relación biunívoca que se establece entre los puntos exteriores e interiores de una circunferencia situada en dicho plano.

Sea (C) una circunferencia dada. Se define la función de inversión geométrica como aquella que establece una correspondencia entre el conjunto A de los puntos exteriores a (C) y el conjunto A′ de los puntos interiores a la misma, siendo estos últimos las imágenes inversas de los primeros.

La función queda definida como:

f : A → A′

La característica principal de esta transformación es su correspondencia unívoca: a cada elemento del conjunto origen le corresponde un único elemento del conjunto imagen.

La función inversa será:

f ^-1: A´ → A 

Esta también constituye una correspondencia unívoca. Por lo tanto, la función f posee la propiedad de ser biunívoca, correspondencia biyectiva, es decir, cada elemento de A (conjunto origen) se corresponde con un único elemento de A′ (conjunto imagen), y recíprocamente, cada elemento de A′ se corresponde con un único elemento de A.

Dada una circunferencia (C) de centro O, en la operación de inversión se verifica que un punto A exterior a la circunferencia y su inverso A′, situado en el interior de ella, pertenecen a la misma recta de origen O y dirección A.     

Se cumple, además que:

│OA│.│OA´│= R²      donde R es el radio de la circunferencia

De aquí se concluye que si │OA│. │OA´│⇒ │OA│² = R² ⇒

⇒ │OA│= R = │OA´│, es decir que los puntos que se encuentran sobre la circunferencia son inversiones de sí mismos.

OA . OA′ = R² 

Interpretación geométrica de la obtención de la inversión de un punto A.

En el caso de que el punto A sea interior a la circunferencia, se deduce que su inverso A′ será exterior a ella.

EJEMPLOS

Operación de inversión sobre un segmento de recta que contacta a la circunferencia de inversión. Puede observarse que el punto de contacto entre ambas figuras es inversión de sí mismo, A ≡ A'. La figura obtenida es una curva que se aproxima al punto O (centro de la circunferencia de inversión) a medida que el punto E del segmento tiende al infinito.

Inversión de un cuadrado exterior a la circunferencia de inversión y que es tangente a la misma en el punto A.

LA INVERSIÓN GEOMÉTRICA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

En una inversión geométrica en el espacio tridimensional, la correspondencia biunívoca se establece entre los puntos exteriores e interiores de una esfera perteneciente a dicho espacio.

También se cumple que:

│OA│. │OA´│= R²         (1)

donde R es el radio de la esfera.

Asimismo, los puntos O (centro de la esfera), A (punto exterior a ella) y su inverso A′ pertenecen a una misma recta.

El punto A′ se encuentra en la intersección de dicha recta con el plano secante a la esfera que constituye la base del cono de vértice A cuyas generatrices son tangentes a la esfera.

Se observa que, a medida que el punto A se aproxima a la superficie de la esfera desde el exterior, la circunferencia que constituye la base del cono tangente va reduciendo su radio. En el caso límite, cuando A pertenece a la superficie esférica, dicha circunferencia se reduce a un punto y A coincide con su inverso A´.

En consecuencia, todos los puntos pertenecientes a la superficie de la esfera son inversos de sí mismos. Esta propiedad también se deduce directamente de la ecuación (1), ya que, al cumplirse (OA = R), resulta (OA' = R).

Por otra parte, cuando el punto A se aleja indefinidamente del centro O, es decir, cuando  OA → ∞, el cono tangente tiende a convertirse en un cilindro cuyas generatrices son paralelas entre sí y tangentes a la esfera. En tal situación, la base del cono tiende a un círculo de centro O y radio R , coincidentes con los de la esfera.

De acuerdo con la relación de inversión dada por (1), cuando OA → ∞, se verifica que OA' → 0. Por lo tanto, el punto inverso A' tiende al el centro O.

INVERSIÓN GEOMÉTRICA DE UN SECTOR DE PLANO

En este caso, el sector de plano considerado es tangente a la esfera de inversión de centro (O).

El punto de tangencia (A), por pertenecer a la superficie de la esfera, es inverso de sí mismo; es decir, A ≡ A´. Determinando las inversiones de los demás puntos del sector plano se obtiene la configuración mostrada en la figura 6.

Figura 6

Al unir los puntos inversos correspondientes se obtiene la figura transformada del sector de plano considerado: un casquete esférico, representado en la figura 7.

Figura 7

En la figura 8 se observa el casquete esférico obtenido y, en particular, la transformación del segmento AB del plano en el arco de circunferencia A'B' perteneciente al casquete esférico inverso.

Figura 8

Si se considera el plano plano a  de extensión infinita, la inversión lo transforma en otro conjunto geométrico, conservando la correspondencia entre puntos. La figura obtenida mediante la inversión geométrica es una superficie esférica que se aproxima al punto O tanto como se desee, pero no está definda él, como se muestra en la figura 9.

Figura 9. En el caso que el plano tenga una dimensión indefinida, la figura obtenida será una superficie esférica que no estará definida en O. En el gráfico, el plano está representado solo como un recorte.

INVERSIÓN GEOMÉTRICA DE UN CILINDRO TANGENTE A LA ESFERA

Aplicando el mismo procedimiento utilizado en el caso anterior, es posible determinar la inversión geométrica de un cilindro tangente a la esfera de inversión.

La figura siguiente muestra la proyección horizontal del conjunto y la determinación de la inversión en el plano que pasa por el ecuador de la esfera.

Gráfico esquemático de las inversiones de dos de las generatrices, (rectas verticales del cilindro), y de la circunferencia tangente a la esfera.

La superficie de inversión obtenida a partir del cilindro se muestra a continuación.

Finalmente, se presenta el esquema correspondiente al caso límite en el que el cilindro alcanza una extensión infinita en ambos sentidos del eje Z.

A medida que la altura del cilindro tiende a infinito, la imagen por inversión se aproxima asintóticamente al punto O, centro de la esfera de inversión, sin alcanzarlo ni quedar definida en él.

APLICACIONES EN EL ARTE

Breve introducción

En el ámbito artístico también pueden encontrarse ejemplos relacionados con este tipo de geometrías. Entre ellos destaca la escultura Cloud Gate, más conocida como The Bean, obra del artista indo-británico Anish Kapoor e instalada en la ciudad de Chicago.

The Cloud Gate. Imagen de Michelle Maria en Pixabay

The Cloud Gate. Imagen de Kosta en Pixabay

Cabe señalar que la escultura Cloud Gate no constituye una aplicación directa de la inversión geométrica ni un ejemplo de cíclido de Dupin. Sin embargo, debido a su superficie reflectante y a las complejas deformaciones visuales que genera sobre las imágenes del entorno, puede establecerse una analogía conceptual con algunos de los efectos producidos por las transformaciones geométricas estudiadas en este trabajo. La referencia se realiza, por lo tanto, en un sentido ilustrativo y no como una correspondencia matemática estricta.

CONCLUSIONES PROVISORIAS

Dentro de las operaciones de transformación geométrica, la inversión en el espacio tridimensional constituye, a mi juicio, una de las más interesantes. Este interés radica en el carácter inesperado de las figuras que se generan a partir de formas relativamente simples y en la notable diversidad morfológica que puede obtenerse mediante la variación de las posiciones relativas respecto de la esfera de inversión.

Es posible que la inversión geométrica no goce de una difusión tan amplia como otras transformaciones debido a que su estudio requiere un desarrollo matemático y geométrico de mayor profundidad y rigor técnico. Ello supone un esfuerzo intelectual considerable que no siempre se está dispuesto a afrontar, tanto en el ámbito de la enseñanza como en el de la divulgación.

Por otra parte, operaciones de transformación y ordenamiento como las simetrías y las tramas poseen una presencia muy extendida en la naturaleza y encuentran numerosas aplicaciones en la arquitectura y en el diseño en general. Esta cercanía con la experiencia cotidiana genera una mayor familiaridad y contribuye, probablemente, a que resulten más accesibles y atractivas. 

No obstante, las consideraciones expuestas en esta conclusión representan apreciaciones personales. Su validez debería ser evaluada mediante estudios o investigaciones específicas que permitan fundamentarlas de manera objetiva.

BIBLIOGRAFÍA

• Coxeter, H.S.M. y GreitzerS.L., Retorno a la Geometría, Ed. Red Olímpica, Buenos Aires, 2013.

• Coxeter, H.S.M., Fundamentos de Geometría, Ed. Limusa, D. F. México, 1971.

• Di Pietro, D., Geometría Descriptiva, Editorial Alsina, Buenos Aires, 1977.

• https://es.wikipedia.org/wiki/Inversión_(geometría)

Salvo indicación en contrario, todos los gráficos fueron realizados por el autor.