Simetría y supersimetría

Ponencia para el Congreso Nacional e Internacional de SEMA FORMA Y RITMO 2022, Ciudad de Córdoba.

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SIMETRÍA  y SUPERSIMETRÍA

De la física de partículas a la geometría

 

Carlos Barone

Cátedra de Dibujo, CBC, Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo, Universidad de Buenos Aires. Argentina.

RESUMEN  

La simetría es posiblemente uno de los conceptos que mayor importancia alcanza en la ciencia y especialmente en la física. En conjunción con diversas ramas de la matemática se constituyen en los fundamentos que enuncian las leyes físicas que explican el funcionamiento de la naturaleza y el universo en los distintos niveles de magnitud.

 

La idea de supersimetría, propia de la física de partículas y relacionada con el desarrollo anterior, ofrece una conceptualización que permiten su utilización en el estudio de la simetría geométrica clásica para producir clasificaciones y categorizaciones alternativas que deriven en nuevas lógicas de generación, organización y concreción de la forma.

 

En el campo de la física el concepto de supersimetría establece que la aplicación de una operación de simetría a un cuerpo en un espacio de cierto número de dimensiones con un ritmo muy específico puede tener un efecto no esperado en un espacio de una dimensión menor.

 

Llevado al ámbito de la geometría y la naturaleza, la idea propone que una operación de simetría en un espacio de n dimensiones puede generar, en determinadas condiciones, grados de concreción de operaciones diferentes a la original en espacios de n-1 dimensiones. Por lo tanto, es posible estudiar e intervenir sobre las operaciones en un determinado espacio para obtener resultados variados y esperables en otro.

1 - INTRODUCCIÓN

 

La simetría general ha fascinado al ser humano desde los orígenes de su aventura sobre el planeta. Ha habido numerosos procedimientos para sistematizar las operaciones involucradas, considerando tanto las simples como las combinadas con la infinidad de posibles articulaciones a partir de sus elementos constitutivos, ritmos, órganos específicos, características de aplicación y secuencias temporales construidas por adición, simultaneidad o la conjunción de ambas.

 

El concepto de simetría es fundamental en el desarrollo de la física clásica desde mediados del siglo XX, especialmente en lo que se refiere al estudio de sistemas con estados iniciales de equilibrio con altos grados de simetría que al someterse a ciertas solicitaciones alcanzan nuevas configuraciones de equilibrio que pueden poseer niveles de simetría menores. Dentro de las operaciones simples, la reflexión especular es la que se presenta con mayor frecuencia en la determinación de los mencionados estados de equilibrio de los sistemas, les siguen la rotación y la traslación.

 

2 - LA IDEA DE SUPERSIMETRÍA

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A partir de las investigaciones anteriormente mencionadas, el estudio de las condiciones de simetría ha sido utilizado para aplicarlo a la explicación de las teorías de unificación en el ámbito de la física de partículas. En ese contexto la idea de supersimetría ha alcanzado un nivel de desarrollo muy elevado como concepto aglutinador de las interacciones fundamentales que aún se encuentra a la espera de validación a través de las experimentaciones que se están llevando a cabo en estos últimos años.

 

La idea de supersimetría se puede conceptualizar con el siguiente ejemplo; si se toma un cilindro de eje recto ubicado verticalmente en el espacio de 3 dimensiones, la proyección del mismo en un plano horizontal generará como figura un círculo. Si aplicamos al cuerpo una rotación de ritmo igual a 90° en el plano que contiene al eje de tal manera que se posicione horizontalmente, la proyección del cilindro sobre el mismo plano horizontal será un rectángulo. En consecuencia, la rotación de un cuerpo en un espacio de un determinado número de dimensiones puede producir situaciones no esperadas en espacios de una dimensión menor al inicial. Llevado al campo de la física la explicación es que en un espacio dominado por la supersimetría una operación de rotación sobre una partícula A la transforma en otra denominada sA que es asociada de la primera, (s indica supersimetría), de igual manera, con la misma operación realizada sobre sA se obtiene A.

 

Considerando el ámbito de la geometría y la naturaleza, el concepto se aplica cuando la operación de simetría en un espacio de n dimensiones se verifica con determinadas condiciones en espacios de n-1 dimensiones, es decir que podemos considerar que la simetría se formaliza en un espacio y luego en sus proyecciones.

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3 - LOS SISTEMAS DE REFERENCIA

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Es posible establecer determinadas operaciones de simetría, simples o combinadas, sobre un objeto o conjunto de objetos en el espacio de n dimensiones, y no necesariamente obtener el mismo tipo de operaciones en las proyecciones del conjunto sobre espacios de n-1 dimensiones.

 

En el caso de estudiar una operación en un espacio dado, debemos analizar las características de los espacios donde se realizarán las proyecciones ya que las mismas podrán ser infinitas, en consecuencia, es necesario considerar las más significativas para operar de manera reglada y lógica.

 

Al trabajar en espacios de 3 dimensiones es conveniente posicionar los ejes x, y, z del sistema cartesiano de referencia de manera tal que permita evidenciar las mayores condiciones de simetría del conjunto a analizar. Los ejes determinarán los planos del triedro ortogonal donde se realizarán las proyecciones del conjunto, que serán en este caso, cilíndricas normales a los planos proyectantes.

 

En algunas configuraciones es posible trabajar con cortes de los objetos en estudio. En tal caso se deberán definir los planos a utilizar de modo que permitan evidenciar las potencialidades del conjunto en el campo enunciado. Establecido el plano de corte es posible analizar las secciones resultantes y luego las proyecciones ortogonales de las mismas.

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4 - EL EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS Y LA RUPTURA DE LA SIMETRÍA

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Los sistemas físicos en condiciones de equilibrio presentan altos grados de simetría. En el caso de una posible alteración del estado inicial por modificación de algunos de sus parámetros, el sistema intenta reestablecer el equilibrio a partir de las nuevas condiciones reduciendo muchas veces los niveles originales de simetría.

 

Esta situación encuentra explicación en variados ejemplos, uno de los clásicos consiste en tomar una forma semejante a un lápiz con el vértice de su cono truncado para ofrecer una mínima superficie de apoyo. El caso más interesante se produce cuando la figura se ubica verticalmente sobre un plano horizontal, aquí se presentan dos posibilidades, una donde el volumen se apoya sobre la base del cilindro siendo el equilibrio del sistema más estable y la restante, posicionándolo sobre la mínima superficie que presenta el cono truncado generando de esta manera una condición de equilibrio altamente inestable.

 

Vemos en la figura 1a el último caso. El equilibrio del volumen es totalmente inestable, pero exhibe un elevado grado de simetría. Podemos observar que, en el espacio de 3 dimensiones, el objeto presenta simetría por reflexión especular respecto de infinitos planos verticales que pasan por el eje del cilindro.

 

Figura 1

En tanto que en cada una de las proyecciones verticales también encontramos simetrías de reflexión siendo el eje de la operación la mediana del rectángulo proyección del cilindro. Luego en el plano horizontal la proyección resultante es un círculo que presenta infinitos ejes de reflexión.

En el caso de sufrir una alteración en su condición de equilibrio por acción de alguna solicitación, el cuerpo caerá en alguna dirección hasta conseguir un estado final de reposo que involucre la menor cantidad de energía posible. Una probable descripción de la posición alcanzada es la indicada en la Figura 1b. En tal situación, los grados de simetría que presenta el objeto considerando el sistema de referencia inicial serán menores.

Haciendo una analogía con los conjuntos que presentan altos grados de simetría en determinados marcos referenciales encontramos que sus proyecciones también alcanzan altos niveles, en algunos casos al menos iguales al original y que al modificar la posición del objeto respecto del marco inicial, los grados de simetría de las proyecciones en general se reducen notablemente.

5 - EL ESPACIO UNIDIMENSIONAL

Las operaciones de simetría que se producen en el espacio unidimensional tienen como campo de desarrollo la recta. En este ámbito, entre las cuatro operaciones básicas, las posibles son la traslación, la reflexión especular y la extensión.

La operación de traslación se realiza cuando un punto a que será el motivo de la operación se mueve a distancias constantes sobre la recta, constituyendo de tal manera una operación con ritmo r aritmético, (r = distancia de desplazamiento). En el caso que los desplazamientos sean crecientes significa que el ritmo es geométrico, es decir que el ritmo inicial estará afectado en cada movimiento por un coeficiente que será mayor que 1. En el caso de tener desplazamientos decrecientes el coeficiente será menor que 1.

Ritmo aritmético r = constante

Ritmo geométrico r_{n =} k r_n-1

La operación de reflexión especular de un punto a de la recta se realiza respecto de otro punto también perteneciente a la recta llamado centro de reflexión O. Si a se encuentra a la derecha de O se obtendrá, en consecuencia, un punto a´ que estará a la misma distancia de O, pero a la izquierda. El ritmo en este caso será la distancia del punto con respecto al centro de reflexión.

El mismo razonamiento pueda aplicarse respecto a un segmento s de la recta que también tendrá su reflejo respecto de un centro O.

La operación de extensión se dará en el caso que el motivo sea un segmento de la recta considerada. El segmento sufrirá crecimientos progresivos a partir de un punto propio que se denomina elemento que no sufre deformación. También en este caso es posible una transformación de tipo aritmético o geométrico considerando el ritmo, (factor de crecimiento), constante o variable.

En el caso de la extensión los segmentos sucesivos, (motivos), siempre se solaparán sobre la recta con los anteriores.

Las operaciones combinadas incluirán en todos los casos las operaciones anteriores tanto por sumatoria o por simultaneidad con las integraciones establecidas por el diseñador excluyendo la rotación.

Todos los elementos anteriormente descriptos pertenecen al espacio unidimensional de la recta.

Si reducimos en una dimensión este espacio estaremos ante un espacio de 0 dimensiones donde solo habita el punto, el ente geométrico ˝sin dimensiones˝, o según la definición de Euclides: ˝lo que no tiene ninguna parte˝, en consecuencia, no es posible obtener sistemas con grado simetría alguno.

6 - EL PASO A LAS DOS DIMENSIONES

Es en el dominio de las 2 dimensiones donde, a mi juicio las operaciones alcanzan un desarrollo cualitativo mayor, culminando en su expansión creativa en el espacio de 3 dimensiones.

Cuando analizamos el espacio bidimensional, todas las operaciones básicas son posibles, así como las combinatorias que se deseen tanto por sumatoria como por simultaneidad. Los grados de simetría alcanzados aquí son mayores o al menos iguales si los comparamos con los obtenidos al reducir una dimensión del espacio.

La reducción indicada se logra por proyección de los motivos que conforman la operación de simetría contenidos en el espacio bidimensional sobre una recta o por la intersección del plano en estudio con otro en tanto no sea coplanar o paralelo.

Si tomamos como ejemplo un conjunto de figuras generado por una operación de traslación aritmética simple desarrollada en el espacio bidimensional, (figura 2a), se observa que se obtienen proyecciones sobre planos normales al dado o secciones sobre un plano como el de la figura 2b que corta al conjunto convenientemente. Se puede interpretar lo obtenido en el espacio unidimensional, (figura 2c), como una traslación de ritmo aritmético de un segmento o como una traslación de ritmo aritmético más una reflexión por sumatoria con un centro de reflexión entre los motivos segundo y tercero.

Figura 2

En el plano, las operaciones consideradas tienen más interpretaciones posibles que se suman a las anteriores, una de ellas, una doble reflexión combinada simultánea de uno de los motivos a la que se agrega por sumatoria una segunda doble reflexión combinada y aún pueden encontrarse más explicaciones, lo que es un indicio de la potencialidad de los grados de simetría de espacios de n dimensiones en relación a espacios de n-1 dimensiones.

Los ritmos son determinantes en los grados de simetría obtenidos por los sistemas al realizar el pasaje de un espacio dimensional a otro con una cantidad de dimensiones menor. Por lo tanto, los ritmos de las operaciones involucradas deben estudiarse adecuadamente para obtener los resultados esperados.

7 - LA EXPANSIÓN EN EL ESPACIO 3D

Tal como sucede en el espacio de 2 dimensiones, al analizar las operaciones de simetría en el espacio tridimensional se puede observar que las simples y especialmente las combinatorias múltiples generan conjuntos con grados de simetría que varían notablemente según las proyecciones que se consideren.

Se enunciaba anteriormente que en la determinación de los niveles de simetría de tales proyecciones intervienen fundamentalmente los ritmos propios de cada operación en el espacio de una dimensión mayor. Por ejemplo, en las operaciones de traslación en el espacio tridimensional los ritmos representados por el vector de movimiento del motivo que tienen componentes no nulos en todas las direcciones del espacio garantizan en principio, proyecciones del sistema con mayores grados de simetría.

En el caso de las rotaciones es conveniente que las mismas se produzcan respecto de ejes coincidentes o paralelos a los cartesianos y los ritmos definidos de tal manera que no generen identidades en el conjunto. En las operaciones de reflexión especular los planos de simetría deben ubicarse adecuadamente para generar las mismas operaciones en las proyecciones. En general tomando planos oblicuos con respecto al triedro ortogonal de referencia es posible conseguir el resultado esperado siempre que la distancia normal del baricentro del motivo al plano evite las identidades. Cada operación merece un análisis particular para lograr el fin buscado y el ritmo en cada caso juega como se ha dicho un papel decisivo.

Figura 3

Hasta aquí se han mencionado algunas de las operaciones simples en el espacio de 3 dimensiones, siendo que las combinatorias presentan desafíos mayores en cuanto al estudio de sus características para la obtención de los mayores niveles de simetría.

En el ejemplo de la figura 3, se puede ver como un sistema constituido por una operación de rotación simple de un motivo similar a un pétalo en el espacio tridimensional genera lo que será el motivo de las siguientes operaciones. En primera instancia la operación de rotación se realiza respecto de un eje vertical y con ritmo aritmético de 120°.  Sobre este último motivo se aplican por simultaneidad cuatro operaciones; traslación, rotación, extensión y nuevamente rotación, que definirán el resultado final.

La traslación y la primera rotación se realizan respecto del eje que pasa por el baricentro del conjunto que es producto de la primera operación enunciada, luego la extensión y la rotación final se realizan a partir cada uno de los baricentros de los motivos que se van obteniendo, figura 3c.

En las proyecciones ortogonales del conjunto, figuras 3a y 3b se pueden apreciar los diferentes niveles de simetría alcanzados, en estos casos menores que los del conjunto en el espacio.

Un aspecto importante a considerar y que merece especial cuidado es la elección de la morfología del motivo, ya que de sus características dependerá la calidad del resultado final y los grados de simetría alcanzados tanto en el espacio en análisis como en sus proyecciones.

8 - ESPACIOS ALTERNATIVOS

Hasta aquí se han considerado operaciones de simetría en un espacio de n dimensiones y luego sus proyecciones en otros de n-1 dimensiones. Pero es posible también considerar en el espacio tridimensional lo obtenido al cortar conjuntos producto de operaciones simples o combinadas mediante planos convenientemente posicionados.

Figura 4

En el ejemplo de la Figura 4, se observa como un plano oblicuo al cortar los motivos, (en este caso cubos, resultado de una operación de simetría de traslación en el espacio 3D), genera secciones, que, salvo condiciones muy particulares, son formas distintas entre sí. En el caso general se obtienen figuras que podrían considerarse conformantes de simetrías catamétricas. 

En el ejemplo, el plano de corte genera figuras poligonales que varían en la cantidad de lados o en la longitud relativa de los mismos debido a la inclinación del plano seccionante. Las formas obtenidas sobre el plano de corte son secciones de los poliedros que conforman operaciones de simetría donde el motivo es variable.

Analizando las proyecciones de las secciones de corte sobre los distintos planos del triedro se puede observar que siguen la misma lógica de las secciones en el espacio, se pueden considerar por lo tanto como simetrías catamétricas.

Todas las secciones de corte del ejemplo, tanto las del espacio de 3 dimensiones como del espacio bidimensional están relacionadas por una operación que no pertenece al campo de las simetrías y que no hemos considerado aquí pero que comparte con ellas ciertos rasgos, se tratan de la homología. Figura 5.

Figura 5

La conclusión provisoria que puede extraerse a partir del último ejemplo es que, al considerar planos de corte, las secciones obtenidas en los casos generales no configuran simetrías tradicionales con motivos iguales entre sí, sino que éstos son variables constituyendo en la mayoría de las situaciones catametrías.

Tanto las operaciones de simetría, incluidas las identidades, como las homologías y otras que no se consideran aquí constituyen transformaciones que, a partir de una figura, con sus propias lógicas y leyes abren un universo de posibilidades morfológicas. Esa característica común de constituirse en transformaciones es merecedora de un análisis más profundo que permita desarrollar lógicas que sumadas a las enunciadas enriquezcan la categorización, generación y materialización de la forma.

REFERENCIAS

Pérez-Bernal, F. (2015) Simetría y supersimetría. Barcelona, RBA.

Weyl, H. (1980) Symmetry. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

Wolf, K. L. y Kuhn, D. (1959) Forma y simetría. Una sistemática de los cuerpos simétricos. Buenos Aires, Eudeba.