El Punto

Ese elemento tan presente y, sin embargo, tan distante

Reflexiones incompletas —y tal vez innecesarias— sobre el mismo

Tan infinitamente pequeño y tan decididamente necesario, el punto es un elemento geométrico fundamental. Seguramente nadie ha visto uno en estado puro, pero todos hablamos de él. Esto no es necesariamente negativo, ya que en numerosas ocasiones hablamos de cosas de igual o mayor importancia que jamás hemos visto. Es una característica notable de la condición humana: la elocuencia y la fluidez en la explicación de situaciones desconocidas o mal interpretadas.

El mundo propio del punto es el conceptual, el de las ideas. Allí se despliega con naturalidad y elegancia, mientras que su tránsito al mundo material resulta más laborioso. Sus materializaciones son manifestaciones que concretan solo pálidas interpretaciones.

Generalmente, en los textos se define al punto, junto con la recta y el plano, como uno de los entes fundamentales de la geometría. Se los considera de este modo porque responden a conceptos iniciales que solo pueden ser descriptos en relación con otras entidades semejantes.

A pesar de lo anteriormente enunciado, el punto no parece gozar del prestigio que ostentan otras entidades. Aun siendo un elemento fundamental de la geometría ha sufrido una marcada limitación en su consideración debido a su primigenia particularidad y fundamentalmente a la descripción que lo ha caracterizado. La definición de un objeto ejerce un fuerte condicionamiento sobre su futura comprensión.

El concepto de punto, entendido como entidad geométrica, surge de la antigua concepción griega de la geometría. Euclides, en su tratado Los Elementos, ofrece la siguiente definición:

“Un punto es lo que no tiene partes”.

Los Elementos, Libro I

Una afirmación evidentemente tajante, enigmática y seductora. Recuerda la definición que la filosofía ofece sobre el ente: “Ente es todo lo que es”.

La condición de ser que aquí se enuncia, no alude solo a la concreción material, a la existencia física o a la manifestación sensible, sino también al acto de pensar el ente. El punto, en consecuencia, por el solo hecho de ser pensado adquiere realidad.

La geometría clásica se basa en la idea de conceptos intuitivos y apriorísticos, cuya definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos semejantes. Se considera, por lo tanto, que basta con asumir la noción del concepto.

Algunas definiciones más:

1. “El punto es la unidad más simple, irreductiblemente mínima, de la comunicación visual; es una figura geométrica sin dimensión; longitud, área, volumen, ni otro atributo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el plano respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas”.

2. “El punto es la intersección de dos rectas”.

3.“Señal de dimensiones pequeñas, ordinariamente circular, que, por contraste de color o de

relieve, resulta perceptible sobre una superficie”.

Para tener más datos consideremos su etimología.

La palabra punto proviene del latín punctum que significa picadura, punzada. Punctus es el participio del verbo pungere, (pinchar, picar, agujerear). De esta raíz proceden las palabras púa y puya, (punta aguda de acero, colocada en el extremo de la garrocha, con la que los picadores o vaqueros pinchan a las reses).

De punto se derivan los verbos: apuntar, puntuar y punzar.

La palabra latina pungere procede de la raíz indoeuropea peug- (punzar, golpear) de la que derivan las palabras puño, puñal y pugna.

Desde su etimología, el punto estáe destinado a dejar una huella.

El punto, esa partícula infinitesimal, sin cuerpo, sin dimensión y sin masa, es el que construye la forma, la que es y la que podrá ser.

La importancia fundamental de un ente geométrico que, según el pensamiento de Euclides, carece de partes, tal vez sea el relicto de un pasado majestuoso en el que un punto originario dio nacimiento al todo. Aquel punto primordial, con existencia material y características físicas singulares, se relaciona sin duda con el punto geométrico, pues lo contiene.

En un principio todo fue un punto.

Todo se generó a partir de él.

La teoría que hoy cuenta con mayor consenso en el ámbito científico sobre el origen del universo —la teoría del Big Bang— establece que, a partir de una singularidad, un punto infinitamente pequeño, denso y caliente, se produjo un evento que dio origen a todo lo conocido.

Lo admirable de esta explicación es que un punto infinitesimal generó estructuras masivas, gigantescas e inagotables, cuyas magnitudes, grados y diversidad aún no alcanzamos a comprender. Existe una clara analogía entre el punto de la singularidad inicial y el punto geométrico: el primero dio origen a una estructura compleja compuesta por una multitud de formaciones ilimitadas e inconmensurables; el segundo contiene, en su esencia, el potencial para generar todas las formas.

El punto propio de la geometría, aparentemente insignificante e indefinido, construye —por decisión del diseñador— el universo de las formas: el existente y el posible.

En tanto el punto originario todo lo contenía:

• Las estrellas, (compuestas por muchos átomos y moléculas),

• Las galaxias, (agrupaciones de estrellas),

• Los grupos y cúmulos, (donde se agrupan desde unas decenas hasta varios millones de galaxias),

• Los supercúmulos, (en los que se aglomeran varios grupos, cúmulos y galaxias aisladas), y por último, 

• Las inmensas estructuras a gran escala, (tales como los complejos de supercúmulos),

• Los filamentos y los muros, superestructuras de miles de millones de años luz de longitud, separadas entre sí por regiones de vacío de dimensiones inconmensurables.

  
  

Todo deriva de aquel evento singular, incluido el punto sobre el que reflexionamos.

La ubicación del punto

Todos los puntos comparten la misma definición, pero esto no significa que todos presenten necesariamente las mismas características. Los puntos que se encuentran en el interior de una superficie, de una forma, a menos que pertenezcan a alguna de las rectas o elementos característicos de las mismas no son particularmente destacables. Es cierto que son necesarios para conformar la continuidad de la superficie, pero no son aquellos puntos que el diseñador o el geómetra indicaría en una primera instancia para destacar y definir la morfología.

Los puntos que se encuentran en las aristas o líneas que delimitan una superficie son de una especial condición, son la frontera, el límite que indica la pertenencia a la forma. Un punto desplazado un infinitésimo hacia el exterior de esa frontera lo define inmediatamente como extranjero, no perteneciente a la morfología. Los puntos que posen la categoría de frontera asumen la condición de límites, son fundamentales porque señalan hasta dónde se desarrolla la forma; más allá será otro universo de puntos, tal vez otra figura o el espacio entre figuras.

El espacio está conformado por infinitos puntos. Aquí solo estamos considerando el espacio geométrico tridimensional, pero esta noción se amplía cuando razonamos que el espacio matemático puede tener n dimensiones. El solo hecho de pensar estas magnitudes inconmensurables resulta abrumador.

A consecuencia de lo dicho resulta imperioso ubicar al punto, el mismo debe ser situado. Para ello  es preciso establecer un sistema de referencia que no es otra cosa que determinar otro punto que actuará como origen de un sistema de coordenadas. Un punto que, por decisión del que opera, se constituirá en origen. Todo aquello que deba trabajarse se establecerá en relación con él.

Un punto en el universo está determinado por coordenadas precisas, su ubicación constituye su definición. Cuando se debe iniciar la empresa de la construcción, tanto intelectual como material, de la forma, cada punto debe establecerse en relación con los otros. Para ello debemos recurrir, como decíamos, a un sistema de referencia, un sistema de coordenadas. Una vez elegido el mismo, podremos comenzar a posicionar todos los puntos pertenecientes a la forma y, en consecuencia, cada uno adquirirá características particulares, definidas y diferenciadas.

Algunos puntos serán muy especiales, tan fundamentales que se constituirán en hitos; otros pasarán desapercibidos y solo serán apreciados por el diseñador o el morfólogo.

Los puntos característicos son aquellos que se destacan por sus singulares cualidades, como los vértices, los cuspidales, los de inflexión en una curva, los de tangencia a una trayectorias o los puntos limitantes de un segmento, entre otros. La mayoría de los puntos no tiene esa fortuna: carecen de cualidades que los diferencien del resto, pasan casi desapercibidos y se encuentran camuflados en una recta, en un plano, en un volumen o en el espacio.

Toda forma es un universo de infinitos puntos.

El punto habita la forma y el espacio.

Con su movimiento continuo y no estructurado genera la línea, luego la recta, cuando el orden y ciertas condiciones se imponen.

Las rectas generan con su traslación o la rotación la superficie y ésta con las mismas operaciones, el volumen.

Puntos y más puntos, podemos discutir sobre la mayor o menor importancia de cada uno o de su su relativa belleza, pero todos son necesarios. Sin ellos, la matemática y la física no serían posibles, el dibujo no sería posible y especialmente el dibujo de precisión carecería de sentido.

El Punto y El dibujo

Una vez que la morfología se va modelando en el pensamiento junto a sus puntos característicos, surge la necesidad de exteriorizarla y comunicarla al mundo; es allí donde el dibujo asume el protagonismo.

La forma es revelada por medio del dibujo. Expone y concreta lo existente y prefigura lo imaginado. Posiblemente en el futuro existan otros mecanismos que nos permitan dar una respuesta alternativa, pero hasta el momento, no hay otro camino.

Figura a

El dibujo deja entonces de ser un instrumento meramente operativo para asumir una función cognitiva. Quien dibuja se apropia de una de las múltiples realidades de la forma que el registro pone en evidencia. De este modo, el dibujo se constituye en un conocimiento que se profundiza y se transforma a medida que la aproximación a lo pensado se renueva a través de los sucesivos registros.

Figura b

Dibujo sistemático y dibujo sensible, cada uno expresa de manera diferente la apropiación de la forma y por medio de ambos se concreta la incorporación del mundo percibido y el imaginado.

Figura c

Cuando recurrimos al dibujo a mano alzada para registrar las formas reales o corporizar las imaginadas, el ojo recorre lo existente y captura los puntos más significativos. A partir de ellos es posible definir los trazos que los unen, algunos más aleatorios, otros más articulados. En el caso de lo imaginado, el punto que origina el trazo se ubica con la mayor precisión posible y produce, en ciertos casos, equívocos que tal vez puedan transformarse en situaciones afortunadas de diseño.

Figura d

El punto exteriorizado ya no lo es, serán marcas en el plano o tal vez partículas en el espacio. El punto como tal, se ha desvanecido y se ha transformado, ha mutado.

El dibujo se construye paso a paso. (Figuras a, b, c, d y e)

Figura e

El Punto y los Sistemas de Representación

Cada sistema presenta sus propios códigos y legalidades. Dentro de ellos, las proyecciones cónicas y las cilíndricas sobre plano único se caracterizan por permitir la duda, admitir el engaño. Quizá más que el engaño una ficción, una verdad a medias que puede resultar más bella que una ruda franqueza.

La raíz de esta imperfección se encuentra en el rayo de proyección —o en las visuales, en el caso de las cónicas— que alcanzan al punto y lo proyectan sobre el plano correspondiente. La representación o proyección del punto considerado coincide así, con la de los puntos de la recta proyectante: una sola proyección representa a infinitos puntos.

El punto en cuestión se escabulle, se mimetiza con una infinita cantidad de otros puntos y ya no puede ser fácilmente individualizado. Esta situación produce indefinición y ambigüedad, condiciones que tienen su aspecto positivo, sin ellas no podrían representarse las figuras imposibles, (Fig. 1 y 2).

Figura 1. William Hogarth. Satire on False Perspective,1754.

En oposición, las proyecciones ortogonales sobre planos múltiples concertados construyen el ámbito de la perfección y la precisión. Allí no hay vacilación, no hay espacio para la duda. Es un mundo árido, que se expresa con frío rigor y consagra la exactitud y la certeza exhaustivas.

En este sistema, el punto queda perfectamente identificado; ya no puede disimularse ni tomar la identidad de otros, como sucede en los restantes sistemas de representación. No hay lugar a equívocos. El tímido punto que pasaba desapercibido en el dibujo a mano alzada y en los sistemas de proyecciones cónicas o cilíndricas sobre plano único es puesto en evidencia mediante las proyecciones ortogonales sobre planos múltiples. Aquí queda perfectamente determinado por sus coordenadas en el espacio cartesiano.

En los otros sistemas, el punto podía ocultarse, lograr que otros tomaran su posición en la representación, dando lugar así a lo ambiguo y lo lúdico. La imprecisión se fusiona con la imperfección, aquella que forma parte de la condición humana.

Figura 2. Ilusión óptica del triángulo de Oscar Reutersvärd,1934.

El sistema de proyecciones ortogonales concertadas, codificado, completado y desarrollado por Gaspar Monge, es un sistema de gran abstracción que no se parece a la forma en que el ser humano ve el mundo físico, por lo tanto, produce cierto rechazo por su condición de ajeno a lo habitual y a lo conocido.

El objeto es registrado mediante múltiples imágenes. El sistema constituye un desafío a la característica imagen única de las proyecciones cónicas y axonométricas y, por ello, parece carecer de la gracia, la empatía y la sutileza que presentan los otros sistemas.

La aridez del sistema Monge se acrecienta debido a que el ser humano no está contenido en él. Es cierto que en las proyecciones cilíndricas sobre plano único, (las axonometrías), el ser humano también es desplazado de su estructura y su lógica, pero en el sistema Monge el observador es llanamente desterrado, expulsado.

El sistema es tan detallado y preciso que parece no haber lugar para el ser humano, siempre imperfecto y proclive al error. Tal vez por esto, sentimos cierta resistencia a acercarnos a él y sentimos una mayor fascinación por las axonometrías y las proyecciones cónicas.

Solo las últimas contienen al ser humano. El observador puede sumergirse en ellas, es parte del espacio que registra, es el protagonista. Se necesita de él imperiosamente. Debe ser ubicado con precisión para establecer el punto de vista, el campo visual y acercarse así a la construcción de lo percibido por la visión humana.

Sin embargo, debemos reconocer que gracias a la geometría descriptiva todos nuestros pensamientos referidos a la figura, todo aquello que hemos imaginado en relación con ella, puede ser formalizado y construido.

El universo procede mediante un sistema de equilibrio y compensaciones: a mayor complejidad, mayor es la recompensa. En este caso, debemos asumir la abstracción para conquistar la perfección.

Las proyecciones cónicas, salvando las distancias y simplificaciones mediante, intentan registrar de un modo aproximado a cómo ve la mayor parte de las personas, es por ello que se experimenta una mayor cercanía hacia ellas en relación a otras formas de representación.

Las proyecciones cónicas llevan implícita la imperfección propia del ser humano. En cierto modo, su belleza tiene origen en aquella ambigüedad que podría entenderse como una falla. Puede asimilarse a la llamada “falla persa”, según la cual el ser humano no puede realizar una obra manual perfecta sin desafiar a Dios y, en consecuencia, siempre debe conservarse algún rasgo de imperfección. Tal vez no sea más que una visión poética, pero bien vale por su belleza.

Volviendo al punto del que nunca nos hemos alejado, si éste puede ser representado, se concluye que toda forma podrá ser dibujada. En consecuencia, si es posible construir la perspectiva de un punto, también lo será la de una forma compleja, que no es sino una articulación de puntos. Será un proceso laborioso, sin duda, pero totalmente posible. En todo caso, la mecánica no involucrará a los infinitos puntos de la figura, sino solo a aquellos que resulten significativos o característicos, lo que hará el desarrollo conceptual y operativo más accesible.

El ser humano se ha caracterizado, desde sus orígenes, por su afán de transmitir información. Gracias al dibujo puede concretar ese mandato ancestral y materializar el mundo, una labor majestuosa.

El punto, esa mínima entidad que hace posible un universo infinito de formas, está allí: humilde, casi invisible; sin reconocimiento ni protagonismo, pero sin él nada podría existir.

“…dijo que para terminar el poema le era indispensable la casa, pues en un ángulo del sótano había un Aleph. Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contiene todos los puntos… el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos”.

“En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombro como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia”.

El Aleph

Jorge Luis Borges